Това е триизмерна геометрична фигура, съставена от два еднакви успоредни многоъгълника като основи и странични стени, които са успоредници. Те получават специфично наименование според броя на страните, които образуват основата им. Така например, ако основите ѝ имат три страни, тя ще бъде триъгълна призма , четири страни - правоъгълна призма, пет страни - петоъгълна призма и т.н.
Разглежданата тема е по-специално всичко, свързано с петоъгълната призма , но е необходимо да се познават общите аспекти на призмите като цяло, за да се изучават безопасно, да се интерпретират формулите им и да се разпознават в геометрични упражнения и задачи.
Общи характеристики на една призма
Призмата е вид многоъгълник , т.е. триизмерна фигура, образувана от краен брой плоски многоъгълници, които действат като страни. Всички призми споделят обща структура, която трябва да се разбере, преди да се анализира който и да е конкретен тип (триъгълна, четириъгълна, петоъгълна и др.).
Елементи, които съставят призма:
- Основи Са две успоредни и равни многоъгълници които образуват основата и върха на призмата. Броят на страните може да варира и точно те дават името на призмата. Например, ако основата има пет страни, я наричаме петоъгълна призма.
- Странични лица: са паралелограми които отделят долната основа от горната основа и свързват всяка страна на долната основа със съответната страна на горната основа.
- височина: Е перпендикулярно разстояние която се намира, разделяйки двете основи. В правилните призми тя съвпада с дължината на всеки страничен ръб.
- Ръбове: Всяка от страните на многоъгълниците, които образуват основите, се нарича ръбовете на основатаИ всяка от страните на страничните повърхности поотделно се нарича страничен ръбЗаедно ръбовете определят „структурата“ на призмата.
- Върх: Всеки от точки, където се срещат няколко ръба Нарича се връх. В призмата три стени се срещат във всеки връх.
Геометрия и нотация на призма : Обикновено се представя чрез именуване първо на долната основа, а след това на горната основа. Например, в петоъгълна призма, върховете на долната основа могат да бъдат обозначени с A, B, C, D, E, а тези на горната основа с F, G, H, I, J, така че всеки страничен ръб да се свързва с двойка съответстващи върхове (A към F, B към G и т.н.). Тази нотация е много полезна за описание на ръбове, лица и сечения при решаване на задачи.
Класификация на призмите
Призмата се класифицира според няколко характеристики: формата на основите ѝ, дължината на страните ѝ, ориентацията на страничните ѝ стени и вътрешните ъгли на основите ѝ. Разбирането на тези класификации ще ви помогне да определите какъв тип призма се използва в дадена задача и коя формула да приложите.
Призма се класифицира според свойствата на нейните основи в:
- Редовен: Това е такова, чиято основа е правилен многоъгълникТоест, многоъгълник, чиито всички страни са с еднаква дължина, а вътрешните му ъгли са с еднаква мярка. В правилна петоъгълна призма двете основи са правилни петоъгълници.
- Нередовен: Това е този, чиито бази са представени от многоъгълници с различни страни и вътрешни ъгли една с друга. Всяка страна може да има различна мярка и вътрешните ъгли не е необходимо да са равни.
Въз основа на броя на страните, които имат основите им, те се класифицират, както следва:
- Триъгълни 3 страни
- Четириъгълни 4 страни
- Петъгълна 5 страни
- Hex 6 страни
- Седмоъгълна 7 страни
- Осмоъгълни 8 страни
- 9-странен енеагон или неагон
- Десетоъгълник с 10 страни… и така нататък.
Като цяло, ако основата е N-странен многоъгълник , той се нарича N-ъгълна призма . В конкретния случай, който ни интересува, N = 5 и получаваме петоъгълна призма.
Според страничните им лица те се класифицират на:
- Дясна призма: Той е този, който има толкова много странични повърхности тъй като основата му е оформена. Страничните му страни са правоъгълна (или квадрати в някои специфични случаи) и страничните ръбове са перпендикулярно към основите. В тези призми височината съвпада с дължината на всеки страничен ръб.
- Косо: Наклонената призма няма перпендикулярност на страничните си стени спрямо основата си. Страничните ѝ стени са ромбоиди (наклонени паралелограми). Те имат специфичната характеристика, че техните височина (перпендикулярно разстояние между основите) не съвпада със стойността на страничните му ръбове, които са наклонени.
Според вътрешните си ъгли те са класифицирани
Вдлъбната: Призмата може да бъде класифицирана като вдлъбната , когато вътрешните ѝ ъгли са по-големи от 180°. Поради неправилната си форма, която създава вид на прорез, отварящ се в призмата, права линия може да я пресече в повече от една точка. Основата в тези случаи е вдлъбнат многоъгълник.
Изпъкнала: Призмата е изпъкнала , когато вътрешните ѝ ъгли са по-малки от 180° и освен това, когато през нея преминава права линия, тя се пресича само в две точки. Повечето призми, изучавани в елементарната геометрия, включително правилната петоъгълна призма , са изпъкнали.
Петоъгълна призма
Сега сме готови да научим повече за петоъгълната призма. След като определихме характеристиките, общи за всички призми, ще се задълбочим по-специално в петоъгълната призма . Петоъгълната призма е тази, чиито основи са еднакви и успоредни петоъгълници , а страничните ѝ стени са образувани от пет успоредника.
От гледна точка на многоъгълниците, петоъгълната призма е многоъгълник със 7 страни (2 петоъгълни и 5 странични). Ако основите са правилни петоъгълници, а страничните страни са правоъгълници, я наричаме правилна петоъгълна призма . Ако основите са неправилни или страничните страни са наклонени, тя ще се счита за неправилна или наклонена, според случая.
функции
Петоъгълната призма има следните основни характеристики, които трябва да се запомнят, тъй като те често се появяват в задачи, включващи броене на стени, върхове и ръбове:
- ОсновиТой има два успоредни и равни петоъгълника. Тези основи са конгруентниТоест, идентични по размер и форма и определят очертанията на призмата.
- КарашИма пет странични страни плюс двете основи; общо има седем лицаСтраничните стени са успоредници (правоъгълници, ако призмата е права).
- височина. Е разстоянието между двете базиВ правилната петоъгълна призма тя съвпада с дължината на всеки страничен ръб; в наклонената не съвпада.
- Връх. Това са върховете на призмата, където се срещат три от стените; общо има 10 върха5 на долната основа и 5 на горната основа.
- Ръбове. Това са сегментите, където се срещат две от стените на призмата; общо тя има 15 ръба5 на долната основа, 5 на горната основа и 5 странични ръба, които ги свързват.
Според теоремата на Ойлер съществува взаимовръзка между броя на стените (F), ръбовете (A) и върховете (V) на всяка призма, чиито вътрешни ъгли са по-малки от 180° (изпъкнала).
За изпъкнали многоедри е валидно следното съотношение:
V − A + C = 2
Прилагайки еквивалентната формула A = C + V − 2, броят на ръбовете на петоъгълна призма може да се намери:
A = 7 + 10 − 2 = 15
Тази зависимост е много полезна за проверка дали правилно сте преброили лицата, ръбовете или върховете в дадена задача. Ако заместите данните във формулата на Ойлер и не получите 2, има грешка в броенето.
Как Изчислете площта на правилна петоъгълна призма
Когато петоъгълната призма е правилна и права , основите ѝ са правилни петоъгълници, а страничните ѝ стени са равни правоъгълници. Следователно, изчисляването на общата ѝ повърхност е особено лесно, тъй като всички страни на основата са с еднаква дължина.
В правилна петоъгълна призма работим със следните величини:
- L: измерване на една от страните на основния петоъгълник.
- ап. (апотема): най-късото разстояние от центъра на петоъгълника до която и да е от неговите страни.
- h: височина на призмата (дължина на страничните ръбове в дясната призма).
Обща повърхност на правилна петоъгълна призма:
Площ = 5 · L · (прибл. + h)
Този израз обобщава сумата от площта на двете основи плюс страничната площ :
- Площ на основа (правилен петоъгълник): Ab = (5 · L · ап.) / 2.
- Площ на двете бази: 2 · Ab = 5 · L · ap.
- Периметър на основата: P = 5 · L.
- Странична площ: Al = P · h = 5 · L · h.
Събираме: 2 · Ab + Al = 5 · L · ap. + 5 · L · h = 5 · L · (ap. + h), което е предишната формула. Обърнете внимание, че ключът е в периметъра на основата , който умножава както апотемата (за да се образуват основите), така и височината (за да се образува страничната линия).
Как да намерим стойността на ap (апотема) на петоъгълна призма?
Апотемата е променлива, която не е толкова очевидна, колкото другите, но е от решаващо значение за изчисляване на площта на основата, когато петоъгълникът е правилен. За щастие, можем да я изведем от броя на страните и дължината на всяка страна.
Знаейки броя на страните (N) и тяхната дължина (L), първо изчисляваме централния ъгъл, образуван между центъра на многоъгълника и два последователни върха:
θ = 360° / N
Пример: централен ъгъл на правилен петоъгълник:
θ = 360° / 5 = 72°.
След това апотемата се намира с помощта на тригонометрия. Ако начертаем равнобедрен триъгълник, свързващ центъра на петоъгълника с два последователни върха, разделянето му на височината води до правоъгълен триъгълник, чиято основа е L/2, а остър ъгъл е θ/2. В този триъгълник апотемата е катетът, съседен на ъгъл θ/2.
Следователно, можем да използваме:
ап. = (L / 2) / tan(θ / 2)
Или написано както е в оригиналния текст:
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
Подробен пример: Дадена е петоъгълна призма със страни 20 см и височина 30 см. Нека намерим нейната площ. Вече знаем, че централният ъгъл на правилен петоъгълник е 72°. Нека намерим нейната апотема:
θ = 72°
ap = L / (2 × tan (θ / 2))
ap = 20 / (2 × танг (72 / 2))
ap = 20 / (2 × tan (36°))
ap = 20 / (2 × 0,73) (приблизително тангенс (36°) ≈ 0,73)
ап = 20 / 1,46
ap ≈ 13,69 см
Сега имаме всички данни, за да определим общата му площ:
Площ = 5 × L × (ap + h)
Площ = 5 × 20 × (13,69 + 30)
Площ = 100 × 43,69
Площ ≈ 4369 см²
Обърнете внимание, че този резултат представлява общата повърхност на призмата (странична площ + две основи). В много упражнения ще ви бъдат поискани поотделно страничната площ и площта на основите; просто използвайте вече споменатите формули:
- Странична площ: В = 5 · Д · в = 5 · 20 · 30 = 3000 см².
- Площ на две бази: 2 Ab = 4369 − 3000 = 1369 см².
Площ на неправилна петоъгълна призма
Когато основата не е правилен петоъгълник, а петстранен многоъгълник с различни дължини на страните и ъгли, призмата е неправилна петоъгълна призма . В този случай изчисляването на площта изисква допълнителни стъпки, защото вече не можем да използваме формулата за правилен петоъгълник с апотема.
Като се има предвид, че неправилната петоъгълна призма има два неправилни петоъгълника за основа, е необходимо да се намери площта на неправилния петоъгълник (Ab), неговият периметър (Pb) и височината на призмата, за да се изчисли площта на призмата.
Формулата за площта на неправилна петоъгълна дясна призма е:
Площ на призмата = 2 · Ab + Pb · h
Площта на неправилния основен петоъгълник (Ab) се намира чрез метода на триангулация , което означава разделянето му на по-малки триъгълни фигури, за да се изчислят техните площи и по този начин по-лесно да се получи общата площ на петоъгълника чрез сумирането им.
На практика, за да приложите метода на триангулация, следвате следните концептуални стъпки:
- Свържете един връх на петоъгълника с всички останали (с изключение на съседните му върхове), за да разделите фигурата на три триъгълника.
- Изчислете площта на всеки триъгълник, използвайки подходяща формула (например, основа × височина / 2 о ла Формулата на Херон ако знаете трите дължини на страните).
- Добавете площите на триъгълниците, за да получите общата площ на неправилния петоъгълник.
Периметърът на неправилен петоъгълник с основа (Pb) се намира чрез сумиране на дължините на петте му страни. Тази стойност е от съществено значение за изчисляване на страничната площ , тъй като всяка странична стена има една от тези страни като основа, а височината на призмата като нейна височина.
Площ на наклонена петоъгълна призма
Формулата за изчисляване на площта на този тип призма е различна от тази на правилната петоъгълна призма, тъй като страничните стени са наклонени и вече не образуват просто правоъгълници с основа страна на основата и височина височината на призмата.
Площта на основите се изчислява по същия начин, както при правилна призма (в зависимост от това дали петоъгълникът е правилен или неправилен). Разликата е в страните, които са наклонени.
Страничната площ на наклонена петоъгълна призма е свързана с мярката на страничния ръб и периметъра на напречното сечение на призмата.
Пресечната точка на равнината с призмата, която образува ъгъл от 90° с всеки от страничните ръбове, е дясното сечение на призмата . Тоест, това е плоската основа, наблюдавана, когато призмата е разделена напречно с разрез, перпендикулярен на страничните ръбове.
За да намерите графичното представяне на напречното сечение на която и да е наклонена призма , процедирайте по следния начин: поставете триъгълник срещу един от страничните ѝ ръбове и, образувайки ъгъл от 90°, начертайте линия, която достига до съседния ръб, и така нататък с останалите ръбове. След като тази процедура е завършена, повърхността, която съставлява напречното сечение, може да се визуализира върху равнината.
Площ = 2 · Ab + Psr · a
Където Ab е площта на основата, Psr е периметърът на праволинейното сечение на призмата, а a е страничен ръб (наклонената дължина между двете основи).
За да определите периметъра на правоъгълна призма, просто повдигнете един от ръбовете му на квадрат под ъгъл от 90°, измерете разстоянието от този ръб до пресечната точка на правоъгълната призма с успореден ръб и добавете това разстояние пет пъти. Това разстояние представлява страната на правоъгълната призма, а умножаването му по 5 дава Psr в случай на петоъгълна призма.
Обем на петоъгълна призма
За да се изчисли обемът на петоъгълна призма, независимо дали е права или наклонена, се прилага общата формула за всички видове призми: умножете площта на основата (Ab) по мярката на височината (h).
Обем = Ab · h
Ако петоъгълната призма е правилна, можем да заместим Ab със специфичната му формула:
Ab = (5 · L · ap) / 2
Тогава обемът ще бъде:
Обем = (5 · L · ap / 2) · h
Не забравяйте, че в правилната призма височината е равна на дължината на страничен ръб, докато в наклонената призма височината не е равна на дължината на страничен ръб, независимо от вида на призмата. Много е важно да не бъркате тези две понятия, защото грешка тук напълно променя изчислението на обема.
Много практически упражнения може да ви помолят например да изчислите вместимостта на петоъгълен призматичен контейнер или количеството материал, необходимо за изграждането му. В такива случаи:
- Вие използвате Volumen да го свърже с капацитети (литри, кубически метри и др.).
- Вие използвате обща площ да се знае каква площ от повърхността трябва да бъде покрита с материал (картон, метал, пластмаса...).
Как да се направи правилна петоъгълна призма
За да се построи правилна петоъгълна призма върху хартия или картон, е полезно първо да се запознаем с някои факти за геометрията на петоъгълника:
θint = 108° е вътрешният ъгъл , образуван между две от страните на основния петоъгълник (фиксирана мярка за правилна петоъгълна фигура).
L = страна на петоъгълника
H = височина на призмата
Петоъгълен основен ход
Преди да започнете да рисувате призмата, трябва да дефинирате нейните основи. По лесен и не прекалено технически начин ще обясня как да нарисувате правилен петоъгълник, използвайки само линийка, триъгълник и транспортир.
- Начертайте права линия, която ще служи като начална точка (фиг. 1). Уверете се, че линията е малко по-дълга от желаната дължина на всяка страна на петоъгълника, за да можете да работите удобно.
- Маркирайте желаната дължина на страните на вашия петоъгълник, линия (ab) (фиг. 2). Това ще бъде първи ръб на петоъгълната основа.
- С помощта на транспортир, опиращ се на точката „a„И отляво намерете ъгъла от 108°. Начертайте линия между „a“ и пресечната точка с намерения ъгъл и върху нея маркирайте избраната мярка за страните на петоъгълника (линия ac) (фиг. 3). Това ви дава втората страна.“
- Започвайки от точка b и движейки се надясно, повторете същата процедура както преди, за да намерите другата страна (линия bd) (фиг. 4). Не забравяйте винаги да запазвате една и съща дължина на страната L, така че петоъгълникът да е правилен.
- След това се фокусирайте върху точка „c“, като винаги се стремите към ъгъл от 108° и начертайте (линията ce) (фиг. 5). Отново маркирайте същата дължина L.
- Накрая свържете точките ed, които образуват липсващата страна. Автоматично трябва да се получи ъгъл от 108° (фиг. 6). Ако сте били прецизни с транспортира и линийката, петоъгълникът ще бъде правилен.
Тази геометрична фигура има по-технически и прецизни начини за рисуването ѝ (например, с помощта на конструкции с пергел, базирани на описаната окръжност), но тук ви го обяснявам по прост начин, използвайки само основни инструменти за рисуване.
Успехът на конструкцията на вашата призма ще зависи до голяма степен от точността на основните ѝ чертежи . Малка грешка в ъгъла или дължината на страната може да доведе до това, че страните на призмата по-късно няма да паснат правилно.
Точността на вашата петоъгълна основа ще зависи от вашите умения и познания за измервателните инструменти, които предлагам: линийка, триъгълник и транспортир. Отделете време, за да измерите внимателно всеки сегмент и да маркирате точно ъглите.
Призма следа
След като имате петоъгълната основа, можете да преминете към проектирането на плоското развитие на призмата, което е фигурата, която ще изрежете и сгънете, за да я сглобите в три измерения.
- Начертайте дълга права линия, която ще служи като основа, за да започнете да рисувате страничното развитие.
- На тази линия маркирайте измерването (L) пет пъти, едно след друго. Тези пет маркировки представляват ширините на петте странични стени.
- Перпендикулярно на всяка точка, начертайте вертикални линии, представляващи ръбовете, с височина (H). Това ще ви даде пет съседни правоъгълника.
- Свържете всички точки с права линия и ще получите голям правоъгълник, разделен на пет равни и успоредни части; те представляват всяка от страничните стени на призмата.
- Върху централния правоъгълник или лице, или което и да е лице, което предпочитате, нарисувайте или добавете петоъгълната основа както отгоре, така и отдолу. Важно е първо да нарисувате това и след това да го използвате като основа за очертаване на призмата, за да осигурите перфектно пасване.
- добавя разделите по всички страни на страничните стени с изключение на една. Тези езичета ще използвате, за да сглобите призмата, като нанесете лепило върху тях и ги залепите към съседните стени.
- Внимателно изрежете дизайна и нанесете лепило върху езичетата. Преди сгъване, очертайте всички линии с тъпата страна на ножицата или линийка, за да създадете лека гънка и да улесните сгъването на краищата, без да разкъсвате хартията.
Този вид конструктивна дейност е много полезна за изучаване на петоъгълна призма, защото ви позволява визуално да свържете плоската мрежа (страните и издатините на хартията) с триизмерната фигура, която получавате чрез сгъването ѝ. Това ви помага да разберете по-добре къде са основите, колко странични страни има, защо има 15 ръба и как са свързани върховете.
Когато усвоите тези понятия – видове призми, елементи (страници, ръбове, върхове), формули за площ и обем и графично представяне чрез разработки – изучаването на петоъгълна призма престава да бъде нещо абстрактно и се превръща в ясно упражнение, където всяка геометрична информация има конкретно и визуално значение.