Лос реални числа представляват най-използваният набор от числа в математиката и в ежедневието. Те включват рационални и ирационални числа и варират от числата, които използваме за броене, измерване или плащане, до тези, които се появяват в напреднали понятия като висша математика или физика. Всяко число, което може да бъде представено в непрекъсната числова линия, независимо дали е цяло, дробно или с безброй десетични знаци, е част от реалните числа.
Тази група е възникнала исторически от нуждата да описвам точно Величини, които не можеха да бъдат изразени с числата, известни по това време. Неясни изрази като „много малък“ или „почти нула“ се оказаха недостатъчни за строгото развитие на математическия анализ, което доведе до формализиране на понятията за гранично и реално число. Много историци поставят процесите на усъвършенстване и формализиране на понятието между... 15-ти и 17-ти веквъпреки че съвременното и строго определение е консолидирано по-късно.
Въпреки че древни цивилизации като египетската вече са използвали фракцииГърците са тези, които са изучавали понятието „число“ по по-философски начин. Питагорейската школа е твърдяла, че „всичко е число“ и когато са се опитвали да изразят определени дължини (като диагонала на квадрат), са открили, че Не всички величини могат да бъдат записани като дроби от цели числа.От това възникват ирационалните числа, които по-късно ще допълнят множеството от реални числа.
Какво представляват реалните числа и как се представят?
Реалните числа се дефинират като всички числа, които съответстват на точка от реалната числова праваТази линия се простира безкрайно наляво (отрицателни стойности) и надясно (положителни стойности), включително нула, дроби, крайни десетични дроби и безкрайни повтарящи се и безкрайни неповтарящи се десетични дроби.
Този набор обикновено се обозначава с буквата R или символа ℝФормално, множеството от реални числа може да се опише като обединение на две основни подмножества: рационални числа (Q) и ирационални числа (I), Тоест, ℝ = Q ∪ I.
Примери за реални числа са: 5, 0, −9, 3/4, −7/2, 3,45, 0,333… (1/3), √2, √10, π, eсред много други. Всички те могат да бъдат разположени на реалната числова линия посредством добре дефинирана точка.
Освен това, реалните числа са a подмножество от комплексни числаКомплексните числа се представят като a + bi, където a и b са реални числа, а ei е имагинерната единица (корен квадратен от -1). Когато b = 0, комплексното число a + 0i съвпада с реално число, така че всяко реално число може да се разглежда като комплексно число с нулева имагинерна част.
Класификация на реалните числа според техния тип
Класификацията на реалните числа обикновено е организирана в няколко вложени подмножества. Най-често срещаните са естествени числа, цяло, рационален e ирационалноВ голям мащаб, в рамките на ℝ откриваме две големи групи: рационален e ирационалноА сред рационалните числа има естествени, цели и дробни числа.
1. Рационални числа
Тя се нарича рационални числа на всички онези, които могат да бъдат представени като частно на две цели числаТоест, като дроб p/q, където p и q са цели числа и q ≠ 0. Това множество е представено с буквата QРационалните числа включват положителни числа, отрицателни числа и нулаСледователно, те обхващат широк спектър от величини.
Рационалното число може да бъде записано като дроб, но може да изглежда и като точен десетичен знак (например 3,5), чист повтарящ се десетичен знак (0,7777…) или смесен повтарящ се десетичен знак (2,58333…). Всеки от тези случаи винаги допуска представяне като дроб от цели числа.
Рационалните числа обхващат и двете цяло като дробенСледователно, всяко цяло число (−3, 0, 5…) е също рационално, тъй като може да се запише като p/1. Това означава, че ℤ е подмножество на Q.
Рационалните числа ни позволяват да извършваме операции, без да напускаме множеството от събиране, изваждане, умножение и деление (с изключение на делението с нула). Следователно, Q се нарича затворен за тези операции.
а) Цели числа
Лос цели числа са множеството, образувано от естествени числа, неговата отрицателни противоположности и CeroТе са представени с буквата Z и включват стойности като …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …
На числова ос, положителните цели числа се появяват в вдясно от нулата, нулата заема централна точка и отрицателните цели числа се поставят в izquierdaТази подредба позволява лесно сравнение на техния размер: колкото по-надясно, колкото по-голямо е числото.
- Те се наричат естествени числа към които използваме брой елементи или показват ред (1, 2, 3, ...). Те са положителни цели числа и обикновено се обозначават с буквата N.
- El Cero представлява a нулева стойностНулата не добавя стойност, когато стои самостоятелно, но позицията ѝ в число напълно променя стойността му. Нула вдясно от цифрата умножава стойността ѝ по десет (2 става 20), докато вляво не променя числото (02 е равно на 2).
- Лос отрицателни цели числа Те представляват ситуации, противоположни на естествените, като например пасив, минусови температури o нива под референтното нивоЗа да ги назовем, думата „минус“ се поставя пред числото: „минус четири“ се пише −4.
Целите числа са затворени спрямо събиране, изваждане и умножениеОперацията между две цели числа винаги води до друго цяло число. Делението на две цели числа обаче може да доведе до число, което не е цяло число (например 3/4), така че те не са затворени спрямо деление.
б) Дробни
Рационалните числа включват също дробни числа, който произхожда от решаване на проблеми с разпределението когато делението на естествени числа не дава цяло число.
Дробното число е израз, който показва деление на едно количество на другоСъстои се от числител (сумата, която се разделя) и a знаменател (на колко части е разделено), разделени с хоризонтална или диагонална черта.
Въпреки че всяко цяло число може да се разглежда като дроб със знаменател 1, в този раздел се прави специално разграничение между правилни и неправилни дроби:
- на правилни дроби Това са тези, в които числителят е Menor отколкото знаменателя. Те представляват величини по-малък от един, например 3/5.
- на неправилни дроби имат числител по-голямо или равно на отколкото знаменателя, който показва количество по-голямо или равно на едно, като например 7/4 или 5/5.
Освен това, много рационални числа могат да бъдат записани и като точни или повтарящи се десетични числаПо този начин, число като 0,25 е еквивалентно на 1/4 (точно десетично число), докато 0,333… е еквивалентно на 1/3 (чисто периодично десетично число).
2. Нерационални числа
Лос ирационални числа Те са това Те не могат да бъдат изразени като дроб от две цели числаДесетичното му представяне винаги е безкраен и непериодичен: десетичните дроби продължават без да се повтарят по фиксиран модел.
Класически примери са числото π (връзката между дължината на окръжността и нейния диаметър), номер д (основа на натуралните логаритми), златно сечение φ или корените на прости числа, които не са точни квадрати, като например √2, √3, √5, √7 и т.н.
Исторически погледнато, ирационалните числа са възникнали, когато ученик на Питагор се е опитал да изрази диагонала на квадрат със страна 1 като дроб, откривайки, че Няма две цели числа p и q, такива че p/q = √2Въпреки първоначалната съпротива на питагорейската школа, това откритие показа, че множеството от рационални числа не е достатъчно, за да опише всички геометрични величини.
Ирационалните същества могат да се разглеждат като допълнение на рационалните числа в рамките на реалните числаТоест, ако наречем Q множеството от рационални числа, а ℝ множеството от реални числа, множеството от ирационални числа може да бъде описано като ℝ − Q: всички реални числа, които не са рационални.
Освен това се разграничават два важни вида ирационални числа: алгебричен y трансцендентен.
- Лос алгебрични числа са тези, които са решение на някакво алгебрично уравнение с целочислени коефициенти. Например, √2 е ирационално и алгебрично, защото е решение на x² − 2 = 0.
- Лос трансцендентни числа Те не могат да бъдат получени като решения на никое алгебрично уравнение с целочислени коефициенти. Те не се изразяват с краен брой корени и десетичните му дроби не следват никакъв разпознаваем моделТе включват π и e.
Основни свойства на реалните числа
Наборът от реални числа ни позволява да извършваме операции на събиране и умножение изпълнявайки редица свойства, които улесняват изчисленията и математическите разсъждения. Сред най-важните са заключване, The комутативност, The асоциативност, The наличието на неутрални елементи и съществуването на обратни.
Ключалка
Собствеността на заключване показва, че сумата или произведението на две реални числа винаги е друго реално числоАко a и b принадлежат на ℝ, тогава a + bya·b също принадлежат на ℝ. Това ни позволява да действаме, без да напускаме множеството, нещо съществено за развитието на алгебрата и анализа.
Комутативно свойство
La комутативна собственост В него се посочва, че резултатът от събирането или умножението на две реални числа Не зависи от поръчката където се извършва операцията. Тоест, a + b = b + aya·b = b·a за всички реални числа a и b. Това свойство значително опростява изчисленията и писането на изрази.
Асоциативна собственост
La асоциативно свойство показва, че при събиране или умножение три или повече реални числаНачинът, по който са групирани, не влияе на резултата. В символи: (a + b) + c = a + (b + c) и (a·b)·c = a·(b·c). Благодарение на това, дългите операции могат да бъдат реорганизирани, за да се улесни решаването им.
Неутрален елемент
В реалните числа има две неутрални елементи основно:
- El Cero е неутрална добавказащото добавянето му към всяко реално число не променя стойността му: a + 0 = a.
- El Uno е мултипликативна идентичност, тъй като умножаването му с произволно реално число дава същото число: a·1 = a.
Адитивна и мултипликативна инверсия
За всяко реално число съществува адитивна инверсия и, с изключение на нула, a мултипликативна инверсия:
- El адитивна инверсия Адитивната идентичност на числото a е −a, защото когато се сумират, се получава адитивната идентичност: a + (−a) = 0.
- El мултипликативна инверсия o реципрочни на число a ≠ 0 е 1/a, тъй като a·(1/a) = 1.
Реални числа на числовата линия и в ежедневието
Всяко реално число може да бъде представено чрез точка на числовата праваВсяка точка на тази линия съответства на уникално реално число. Това еднозначно съответствие ни позволява да визуализираме операции като събиране (изместване надясно или наляво), изваждане, неравенства и разстояния.
На реалната числова линия, редът на числата се определя от позицията му: колкото по-надясно е дадена точка, Колкото по-голямо е числото свързани; колкото по-наляво, толкова по-малък ще бъдеНяма „последно“ положително или отрицателно реално число, тъй като множеството ℝ съдържа безкрайни елементи в двете посоки.
В ежедневието реалните числа се използват постоянно: например измерване на дължини (метри, сантиметри), експресни температури (положителни и отрицателни степени), изчисляване на времена, управлявам пари (салда, дългове, лихви), сравнете графици o анализира данни в статистиката и икономиката.
В научната и технологичната област реалните числа са основата на диференциално и интегрално смятане, The класическа и съвременна физика, The инженерство, The компютри и много други дисциплини. Величини като скорост, ускорение, енергия или интензитет се изразяват с реални числа и правилното им боравене позволява моделирането на сложни явления.
Разбирането на класификацията на реалните числа, техните подмножества и свойства не само улеснява изучаването на математика, но и Това засилва логическото и абстрактното мислене.Това помага за структуриране на мисленето и подобрява способността за решаване на проблеми в много различни контексти.